Kryterium Kelly'ego
Trading Intelligence
8 min czytania
Jak kryterium Kelly'ego pomaga wyznaczać optymalną wielkość pozycji — i kiedy używać ułamka Kelly'ego, by uniknąć ruiny.
Loading
8 min czytania
Jak kryterium Kelly'ego pomaga wyznaczać optymalną wielkość pozycji — i kiedy używać ułamka Kelly'ego, by uniknąć ruiny.
Kryterium Kelly'ego to wzór na wielkość pozycji, który wybiera ułamek kapitału maksymalizujący długoterminowy geometryczny wzrost majątku. Dla wyników binarnych:
f* = (bp − q)/b. Dla ciągłych zwrotów z tradingu:f* = μ/σ². Większość profesjonalistów stosuje połówkę lub ćwiartkę Kelly'ego, ponieważ szacunki edge'a są zaszumione, a pełny Kelly daje brutalne drawdowny.
Dobór wielkości ryzyka to cichy zabójca większości rachunków tradingowych.
Kelly daje matematycznie uzasadnioną wielkość pozycji — równoważy wzrost i ryzyko ruiny. Tak właśnie skalują się profesjonalni gracze, quantowi traderzy i fundusze algorytmiczne, gdy zmierzą już swój edge. (Zobacz Kelly Jr., 1956, A New Interpretation of Information Rate; Thorp, 2006, The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market.)
Ta lekcja zakłada, że znasz już swoją politykę ryzyka na transakcję — jeśli nie, zacznij od Ryzyko na transakcję i wielkość pozycji.
Kryterium Kelly'ego to ułamek zakładu f*, który maksymalizuje wartość oczekiwaną logarytmu majątku — równoważnie, długoterminowe geometryczne (skapitalizowane) tempo wzrostu rachunku.
Przyjmuje dwie postaci, w zależności od kształtu wypłat:
f* = (bp − q)/bf* = μ/σ²f* Kelly'ego to ułamek zakładu, który maksymalizuje E[log(majątku)]. Dlaczego logarytm? Bo strata 50% wymaga 100% zysku, żeby ją odrobić — średnia arytmetyczna zwrotów wprowadza w błąd, gdy kapitalizujesz. Maksymalizacja E[log W] to właściwy cel dla każdego tradera, który realnie kapitalizuje kapitał.
Dla zakładu z jedną stałą wielkością wygranej i jedną stałą wielkością straty:
f* = (b·p − q) / b
Gdzie:
p = prawdopodobieństwo wygranejq = 1 − p = prawdopodobieństwo stratyb = stosunek wypłaty = średnia wygrana / średnia strata ("R" w R-multiple)f* = optymalny ułamek kapitału do zaryzykowania na tym zakładzieZwróć uwagę na dzielenie przez b. Pominięcie tego kroku to najczęstszy błąd w obliczeniach Kelly'ego w sieci — i zawyża wynik dokładnie o stosunek wypłaty.
Masz:
p = 0,55b = 2 (zarabiasz 2R, gdy wygrasz, tracisz 1R, gdy przegrasz)q = 0,45Podstaw:
f* = (2 · 0,55 − 0,45) / 2
= (1,10 − 0,45) / 2
= 0,65 / 2
= 0,325
Pełny Kelly mówi, żeby zaryzykować 32,5% kapitału na transakcję. Wciąż zdecydowanie zbyt agresywnie — pozycja powyżej 30% kapitału na pojedynczej transakcji kapitalizuje drawdowny w ruinę przy każdej realistycznej niepewności edge'a. Dlatego profesjonaliści nigdy nie używają pełnego Kelly'ego.
Binarny Kelly stosuje się tylko do zakładów o stałych szansach. Realny PnL z tradingu jest ciągły i asymetryczny — nie masz jednej wielkości wygranej i jednej wielkości straty; masz rozkład. Dla tradingu liczy się postać:
f* = μ / σ²
Gdzie:
μ = średni zwrot na transakcję (lub na okres), w jednostkach rachunkuσ² = wariancja tego zwrotu (zobacz wariancja i odchylenie standardowe)Strategia o średnim zwrocie z transakcji μ = 0,4% i odchyleniu standardowym σ = 2% (czyli σ² = 0,0004) daje:
f* = 0,004 / 0,0004 = 10
Dziesięciokrotna dźwignia na strategii. Oczywiście szaleństwo — i właśnie dlatego stosujemy frakcję Kelly'ego i przycinamy wynik do granic wynikających z niepewności edge'a. Ciągły wzór jest uczciwy: mówi ci, ile twój edge "chce", żebyś postawił. Dyskontowanie przez frakcję mówi, ile z tego musisz oddać z powodu swojej niepewności co do edge'a.
Jeśli twój policzony Kelly przekracza 25%, twój szacunek edge'a jest niemal na pewno przeuczony. Przelicz z dyskontem: zmniejsz szacowaną średnią o 30–50% przed określeniem wielkości. Ed Thorp nazywał to Kelly z regularyzacją.
Kelly został wyprowadzony dla gier o stałych szansach — blackjacka, wyścigów konnych — gdzie edge jest znany dokładnie, a reguły są stacjonarne. Trading łamie oba założenia:
p, b (lub μ, σ) propaguje się super-liniowo do f*.Przy pełnym Kelly'm długoterminowe prawdopodobieństwo zobaczenia drawdownu od szczytu do dołka rzędu x% wynosi w przybliżeniu samo x%: 50% szansa na 50% drawdown, 90% szansa na 10% drawdown — w końcu. To akceptowalne dla kasyna z nieskończonym horyzontem. To nie jest akceptowalne dla detalicznego rachunku z karierą na szali.
Połówka Kelly'ego zatrzymuje około 75% geometrycznego wzrostu pełnego Kelly'ego, jednocześnie redukując oczekiwany drawdown mniej więcej o połowę. Przy pełnym Kelly'm szacunki edge'a obciążone błędem w górę — nawet niewielkim — przerzucają wymiarowaną pozycję w obszar negatywnego EV; połówka i ćwiartka Kelly'ego odkupują odporność na to obciążenie. Dlatego Thorp, Ziemba i większość blackjackowych/quantowych pros stosuje od ćwiartki do połowy Kelly'ego (zobacz MacLean, Thorp, Ziemba, eds., The Kelly Capital Growth Investment Criterion, 2011).
Dlatego traderzy zwykle używają:
| Metoda | Wzór / reguła | Długoterminowy wzrost | Oczekiwany drawdown | Odporna na niepewność edge'a | Najlepsza dla |
|---|---|---|---|---|---|
| Pełny Kelly | f* = (bp−q)/b lub μ/σ² | Maksymalny (teoretyczny) | Brutalny — ~50% szansa na 50% DD | Nie | Kasyna ze znanym edge'em, nieskończony horyzont |
| Połówka Kelly'ego | 0,5 · f* | ~75% pełnego | ~½ pełnego Kelly'ego | Częściowo | Zmierzone strategie, próbki 200+ transakcji |
| Ćwiartka Kelly'ego | 0,25 · f* | ~44% pełnego | ~¼ pełnego Kelly'ego | Tak | Wysoka wariancja, rynki o grubych ogonach, mniejsze próbki |
| Stała frakcja (1–2%) | Stały % kapitału na transakcję | Sub-Kelly | Ograniczony, przewidywalny | Tak | Początkujący, nieudowodnione systemy, reguły prop firm |
| Volatility targeting | Wielkość = target_vol / realized_vol | Porównywalny do ¼–½ Kelly'ego | Stabilny w różnych reżimach | Tak | Strategie, których zmienność zmienia się między reżimami |
Nie używaj wielkości pozycji według Kelly'ego, jeśli:
W takich przypadkach statyczna wielkość pozycji (stały % ryzyka na transakcję) jest bezpieczniejsza, dopóki twoje dane nie dojrzeją.
pbμ i odchylenie standardowe σf* = (bp − q)/bf* = μ/σ²0,25 · f* do 0,5 · f* zamiast pełnego Kelly'egoNie — Kelly mówi: stawiaj swój edge przeskalowany przez wariancję. 1% edge'a na rynku o wariancji 1% to inny zakład niż 1% edge'a na rynku o wariancji 10%. Mylenie edge'a z optymalnym ułamkiem zakładu to błąd nr 1 detalicznych traderów w stosowaniu Kelly'ego.
Pełna liczba Kelly'ego jest zbyt agresywna w obliczu niepewności. Zasada Kelly'ego — maksymalizuj log-majątek, wymiaruj proporcjonalnie do edge'a podzielonego przez wariancję — jest dokładnie słuszna dla każdego tradera, który kapitalizuje. Połówka i ćwiartka Kelly'ego to wciąż Kelly; po prostu uznają, że nie znasz μ i σ dokładnie.
Binarny wzór Kelly'ego był dla blackjacka. Zasada Kelly'ego (f* = μ/σ² z maksymalizacji log-majątku) uogólnia się czysto na ciągłe zwroty z tradingu. Nie wyrzucaj zasady, bo zabawkowy wzór nie pasuje.
Kryterium Kelly'ego ma dwie postaci. Dla zakładu binarnego z prawdopodobieństwem wygranej p, prawdopodobieństwem straty q = 1−p i stosunkiem wypłaty b (średnia wygrana podzielona przez średnią stratę): f* = (bp − q)/b. Dla ciągłych zwrotów z tradingu o średniej μ i wariancji σ²: f* = μ/σ². Oba wybierają ułamek zakładu, który maksymalizuje długoterminowe geometryczne tempo wzrostu kapitału.
Pomiń wymiarowanie według Kelly'ego, gdy twoja próbka liczy mniej niż ~100 transakcji, gdy nie zmierzyłeś wariancji swoich zwrotów, gdy handlujesz instrumentami o grubych ogonach, na których założenie normalności Kelly'ego się załamuje (krypto wokół newsów, micro-cap), albo gdy twoja egzekucja jest sterowana emocjami. W tych reżimach wielkość pozycji według stałej frakcji (1–2% na transakcję) jest bardziej odporna, bo nie wzmacnia błędu estymacji.
Bo pełny Kelly zakłada, że znasz swój edge dokładnie. W rzeczywistości p, b, μ i σ to szacunki z próbki, a każde obciążenie ich w górę zamienia pełnego Kelly'ego w zakład o ujemnym EV. Połówka Kelly'ego zatrzymuje około 75% wzrostu pełnego Kelly'ego przy mniej więcej połowie drawdownu, co jest lepszym kompromisem, gdy uwzględnisz niepewność edge'a. Większość quantowych i blackjackowych pros (Thorp, Ziemba) stosuje z tego powodu od ćwiartki do połowy Kelly'ego.
Kelly to nie magia. To matematyczne ramy, które powstrzymują cię przed emocjonalnym podejściem do ryzyka.
Mówi ci:
Nie ryzykuj na podstawie pewności siebie. Ryzykuj na podstawie matematyki — a potem przepołów ją o tę matematykę, której nie masz.