Matematyka dywersyfikacji

I

Czym jest wariancja?

Dwóch znajomych zarabia średnio 1 000 € miesięcznie. Jeden dostaje dokładnie 1 000 € co miesiąc. Drugi dostaje 2 000 € w styczniu, nic w lutym, 2 000 € w marcu, nic w kwietniu. Ta sama średnia. Zupełnie inne życie.

Ten rozrzut — to, jak daleko wyniki odbiegają od średniej — to wariancja. Wysoka wariancja oznacza dzikie, nieprzewidywalne rezultaty. Niska wariancja oznacza spokój i przewidywalność. Żadna z nich nie jest z natury dobra ani zła. Liczy się to, czy potrafisz przetrwać złe wahania wystarczająco długo, by doczekać tych dobrych.

W inwestowaniu wariancja jest kosztem pogoni za wyższymi stopami zwrotu. Pytanie nie brzmi, czy masz wariancję — każda inwestycja ją ma. Pytanie brzmi, czy potrafisz ją wchłonąć.

II

Kryterium Kelly'ego — ile postawić, gdy masz przewagę

Załóżmy, że wiesz, iż Twoje prawdopodobieństwo wygranej jest wyższe, niż zakłada rynek. Ile postawić? Za mało — i zostawiasz zyski na stole. Za dużo — i seria strat wymiata Cię, zanim przewaga zdąży się opłacić.

Kelly daje matematycznie optymalną odpowiedź:

Jeśli wygrywasz 2 € na każde zaryzykowane 1 €, b = 2. Jeśli masz 60% szans na wygraną (p = 0,6), Kelly mówi: postaw 40% kapitału — nie 100%, nie 10%. Powyższy wzór to forma binarna. Dla zwrotów ciągłych odpowiednikiem jest f* = μ/σ², dlatego Kelly maksymalizuje wzrost geometryczny, a nie arytmetyczny.

Poniższa zależność pokazuje optymalną wielkość zakładu dla różnych prawdopodobieństw wygranej i trzech poziomów wypłaty. Zwróć uwagę na płaski zerowy obszar po lewej: przy równych szansach (b=1) Kelly mówi, by w ogóle nie stawiać, dopóki Twój win rate nie przekroczy 50%. Nawet przy lepszych wypłatach zawsze istnieje próg, poniżej którego właściwa stawka to zero.

„Dywersyfikacja to ochrona przed ignorancją. Jeśli wiesz, co robisz, ma niewielki sens.” — Warren Buffett

Kelly mówi: koncentruj się, gdy Twoja przewaga jest realna. Rozpraszanie zakładów na okazje o słabszej przewadze rozmywa geometryczną stopę wzrostu — uśredniasz najlepszy pomysł z gorszymi. Praktyczne zastrzeżenie: Kelly zakłada, że Twoje oszacowanie prawdopodobieństwa jest poprawne. Jeśli mylisz się co do swojej przewagi (edge), nie tylko zostawiasz pieniądze na stole — stawiasz za dużo na pozycję, która przegrywa.

III

Wzrost geometryczny — dlaczego średnie kłamią

Oto najważniejsza matematyka w inwestowaniu. Zaczynasz od 1 000 €. W pierwszym roku zyskujesz 50%. W drugim tracisz 40%. Średnia arytmetyczna stopa zwrotu to +5% rocznie. Brzmi nieźle.

Ale co naprawdę stało się z Twoimi pieniędzmi?

Po pierwszym roku: 1 500 €. Po drugim: 900 €. Straciłeś. Średnia arytmetyczna +5% jest technicznie poprawna i kompletnie bezużyteczna. Geometryczna stopa złożona — to, co naprawdę dzieje się z każdym 1 € — wynosi w przybliżeniu −5% rocznie.

Ta przepaść między stopą arytmetyczną a geometryczną jest spowodowana wariancją. W dobrym przybliżeniu geometryczna ≈ arytmetyczna − σ²/2 — im szersze wahania, tym większy dryf w dół. Stabilne 5% rocznie zostawia Cię po dekadzie z 1 629 €. Dzikie wahania ze średnią 5% zostawiają Cię z 590 €. Ta sama średnia. 1 039 € różnicy. Wariancja jest droga — nawet gdy średnia stopa zwrotu wygląda w porządku.

Kryterium Kelly’ego maksymalizuje geometryczną stopę wzrostu, a nie arytmetyczną. Właśnie dlatego jest właściwym narzędziem: uwzględnia szkody, jakie zmienność wyrządza procentowi składanemu.

Głębszy powód, dla którego to ma znaczenie, ma swoją nazwę: ergodyczność. System jest ergodyczny, gdy średni wynik wielu równoległych graczy równa się wynikowi jednego gracza w wielu rundach. Inwestowanie nie jest ergodyczne — nie żyjesz 10 000 równoległych żyć. Żyjesz jedno, sekwencyjnie, a pojedynczy rok katastrofy trwale redukuje Twoją bazę. Dlatego ścieżka czasowa zwrotów (geometryczna) ma większe znaczenie niż średnia statystyczna (arytmetyczna).

I tu następuje zwrot akcji. Wariancja jest wrogiem procentu składanego — ale można ją zbierać. Jeśli trzymasz dwa zmienne, nieskorelowane aktywa i okresowo rebalansujesz portfel do stałej alokacji, geometryczna stopa wzrostu portfela może przekroczyć stopę każdego z aktywów osobno. Bywa to nazywane Demonem Shannona, od eksperymentu myślowego Claude’a Shannona. Rebalansowanie mechanicznie zmusza Cię do sprzedawania drogo i kupowania tanio. Im szersze wahania i im niższa korelacja, tym większa premia. Prawidłowo przeprowadzona dywersyfikacja nie tylko chroni — generuje zwroty, których żaden składnik nie mógłby osiągnąć sam.

IV

Co dywersyfikacja może, a czego nie

Nie każde ryzyko jest takie samo. Finanse rozróżniają dwa rodzaje. Ryzyko niesystematyczne dotyczy konkretnej spółki lub pozycji — nieudany raport kwartalny, wycofanie produktu, skandal z prezesem. Ryzyko systematyczne obejmuje cały rynek — recesje, zmiany stóp procentowych, szoki geopolityczne. Dywersyfikacja może wyeliminować ten pierwszy rodzaj niemal całkowicie. Z drugim nie zrobi nic.

To jest sufit, którego większość inwestorów nie zauważa. Dodawanie pozycji zmniejsza wariancję portfela — ale tylko do pewnego momentu. Krzywa szybko się spłaszcza. Przejście z jednej akcji do pięciu eliminuje dużą część ryzyka specyficznego dla spółki. Przejście z dwudziestu do pięćdziesięciu ledwie przesuwa wskazówkę. Powyżej pewnego progu po prostu kupujesz rynek — i płacisz za ten przywilej dodatkowe prowizje.

Kształt tej krzywej ma praktyczne konsekwencje. Jeśli trzymasz mniej niż pięć pozycji, dodanie jednej robi dużo. Jeśli trzymasz trzydzieści, dodanie pięciu kolejnych nie zmienia prawie nic. Marginalna korzyść z dywersyfikacji jest skoncentrowana na początku i szybko zanika.

Równie ważne jest to, w czym się dywersyfikujesz. Trzymanie dziesięciu spółek technologicznych nie jest sensowną dywersyfikacją — dzielą to samo ryzyko sektorowe, reagują na to samo otoczenie stóp procentowych i spadają razem. Prawdziwa dywersyfikacja oznacza rozproszenie po nieskorelowanych wymiarach: klasach aktywów (akcje, obligacje, surowce, nieruchomości), geografiach, typach strategii (momentum vs. wartość vs. carry) i czasie (uśrednianie cen zakupu). Pięć naprawdę nieskorelowanych pozycji może zmniejszyć wariancję bardziej niż pięćdziesiąt skorelowanych.

Dywersyfikacja to nie kwestia liczby pozycji. To kwestia liczby niezależnych ryzyk.

Jest też punkt, w którym dywersyfikacja zaczyna szkodzić. Peter Lynch nazwał to dyworsyfikacją — dodawaniem pozycji poza granicę Twojej zdolności do ich zrozumienia i monitorowania. Każda nowa pozycja dokłada koszt monitoringu, złożoność podatkową i tarcie przy rebalansowaniu. Jeśli nie potrafisz wyartykułować tezy inwestycyjnej dla każdej pozycji, nie dywersyfikujesz — rozmywasz przekonanie, dorzucając jednocześnie narzut. Optymalny portfel leży pomiędzy skrajnościami: dość pozycji, by wyeliminować większość ryzyka niesystematycznego, i dość mało, by utrzymać przewagę na każdej.

Wreszcie, najgłębszy argument za dywersyfikacją w ogóle nie dotyczy wariancji — dotyczy ryzyka ogona. Rzeczywiste rynki mają grube ogony. Zdarzenia, które rozkład normalny przewiduje raz na dziesięć tysięcy lat, zdarzają się co dekadę. Skoncentrowany portfel może przetrwać normalną wariancję. Często nie przetrwa zdarzenia sześć sigma w pojedynczej pozycji. Najważniejsze zadanie dywersyfikacji to nie wygładzanie średnich zwrotów — to zapewnienie, że żaden pojedynczy katastrofalny wynik nie usunie Cię z gry na stałe.

V

Kiedy dywersyfikacja ma sens?

Dywersyfikacja nie jest ani cnotą, ani wadą. Jest racjonalną odpowiedzią na konkretny zestaw warunków. Decyzja zależy od dwóch zmiennych: jak pewny jesteś swojej przewagi oraz ile jesteś w stanie wchłonąć w razie całkowitej straty.

Niebezpieczny scenariusz, w który wpada większość inwestorów: wierzą, że mają wysoką przewagę (kwadrant 1), gdy w rzeczywistości mają niską (kwadrant 3). Nadmierna pewność siebie prowadzi do koncentracji w pozycjach, które nie są tak mocne, jak zakładano. Dywersyfikacja w tym przypadku nie rozmywa przewagi — chroni Cię przed własnym błędem kalibracji.

Liczy się jeszcze jedna zmienna: korelacja. Dywersyfikacja zmniejsza wariancję tylko wtedy, gdy Twoje pozycje nie poruszają się w tandemie. Posiadanie dziesięciu spółek technologicznych nie jest sensowną dywersyfikacją — wszystkie reagują na te same siły. Pięć nieskorelowanych pozycji może obciąć wariancję portfela bardziej niż pięćdziesiąt skorelowanych. To jakość, a nie ilość dywersyfikacji decyduje o tym, czy rozproszenie zakładów rzeczywiście coś Ci daje.

VI

Najczęściej zadawane pytania

Czym jest wariancja w inwestowaniu?

Wariancja to miara tego, jak daleko wyniki rozpraszają się wokół średniej. Wysoka wariancja oznacza dzikie, nieprzewidywalne rezultaty; niska — spokój i przewidywalność. W inwestowaniu wariancja jest kosztem pogoni za wyższymi stopami zwrotu — pytanie brzmi, czy potrafisz ją wchłonąć.

Dlaczego średnia arytmetyczna stopa zwrotu wprowadza inwestorów w błąd?

Średnie arytmetyczne ignorują ścieżkę. Rok +50% i rok −40% dają w średniej +5%, ale 1 000 € zmienia się w 900 € — naprawdę straciłeś. Geometryczna stopa złożona to to, co dzieje się z Twoimi euro, a wariancja po cichu ciągnie ją w dół poniżej liczby arytmetycznej.

Ile postawić, gdy mam przewagę?

Kryterium Kelly’ego daje optymalny ułamek: f* = (b · p − q) / b dla zakładów binarnych. Przy 60% win rate i wypłacie 2:1 Kelly mówi: postaw 40%. W praktyce stosuj pół-Kelly, by obciąć wariancję obsunięć o ok. 75% — tania polisa na wypadek niedoszacowania błędu w Twojej ocenie przewagi.

Czy dywersyfikacja może wyeliminować całe ryzyko inwestycyjne?

Nie. Dywersyfikacja eliminuje ryzyko niesystematyczne (specyficzne dla spółki) niemal całkowicie, ale nie ruszy ryzyka systematycznego (rynkowego) — recesji, szoków stóp, geopolityki. To podłoga, na której stoi każdy portfel, niezależnie od liczby pozycji.