Matematyka dywersyfikacji

I

Czym jest wariancja?

Dwóch znajomych zarabia średnio 5 000 zł miesięcznie. Jeden dostaje dokładnie 5 000 zł co miesiąc. Drugi dostaje 10 000 zł w styczniu, nic w lutym, 10 000 zł w marcu, nic w kwietniu. Ta sama średnia. Zupełnie inne życie.

Ten rozrzut — to, jak daleko wyniki odbiegają od średniej — to wariancja. Wysoka wariancja oznacza dzikie, nieprzewidywalne rezultaty. Niska wariancja oznacza spokój i przewidywalność. Żadna z nich nie jest z natury dobra ani zła. Liczy się to, czy jesteś w stanie przetrwać złe wahania wystarczająco długo, żeby doczekać dobrych.

W inwestowaniu wariancja jest kosztem pogoni za wyższymi stopami zwrotu. Pytanie nie brzmi, czy masz wariancję — każda inwestycja ją ma. Pytanie brzmi, czy jesteś w stanie ją wchłonąć.

II

Kryterium Kelly'ego — ile postawić, gdy masz przewagę

Załóżmy, że wiesz, iż Twoje prawdopodobieństwo wygranej jest wyższe, niż zakłada rynek. Ile powinieneś postawić? Za mało — i tracisz potencjalne zyski. Za dużo — i seria strat wyeliminuje Cię, zanim przewaga się opłaci.

Kelly daje matematycznie optymalną odpowiedź:

Jeśli wygrywasz 2 zł na każdą zaryzykowaną złotówkę, b = 2. Jeśli masz 60% szans na wygraną (p = 0,6), Kelly mówi: postaw 40% kapitału — nie 100%, nie 10%.

Poniższe zestawienie pokazuje optymalną wielkość zakładu dla różnych prawdopodobieństw wygranej i trzech poziomów wypłaty. Zwróć uwagę na płaski zerowy obszar po lewej: przy równych szansach (b=1) Kelly mówi, żeby w ogóle nie stawiać, dopóki Twoja szansa na wygraną nie przekroczy 50%. Nawet przy lepszych wypłatach zawsze istnieje próg, poniżej którego właściwa stawka to zero.

„Dywersyfikacja to ochrona przed ignorancją. Jeśli wiesz, co robisz, nie ma większego sensu.” — Warren Buffett

Kelly mówi: koncentruj się, gdy Twoja przewaga jest realna. Rozpraszanie zakładów na mniej trafne okazje rozmywa geometryczną stopę wzrostu — uśredniasz swój najlepszy pomysł z gorszymi. Praktyczne zastrzeżenie: Kelly zakłada, że Twoje oszacowanie prawdopodobieństwa jest poprawne. Jeśli się mylisz co do swojej przewagi, nie tylko tracisz potencjalne zyski — stawiasz za dużo na pozycję, która przegrywa.

III

Wzrost geometryczny — dlaczego średnie kłamią

Oto najważniejsza matematyka w inwestowaniu. Zaczynasz z 10 000 zł. W pierwszym roku zyskujesz 50%. W drugim tracisz 40%. Średnia arytmetyczna stopa zwrotu to +5% rocznie. Brzmi nieźle.

Ale co naprawdę stało się z Twoimi pieniędzmi?

Po pierwszym roku: 15 000 zł. Po drugim roku: 9 000 zł. Straciłeś pieniądze. Średnia arytmetyczna +5% jest technicznie poprawna i kompletnie bezużyteczna. Geometryczna stopa złożona — to, co naprawdę stało się z Twoją złotówką — to w przybliżeniu −5% rocznie.

Ta przepaść między stopą arytmetyczną a geometryczną jest w całości spowodowana wariancją. Stabilne 5% rocznie daje po dekadzie 16 289 zł. Dzikie wahania ze średnią 5% zostawiają Cię z 5 905 zł. Ta sama średnia. 10 384 zł różnicy. Wariancja jest droga — nawet gdy średnia stopa zwrotu wygląda w porządku.

Kryterium Kelly’ego maksymalizuje geometryczną stopę wzrostu — nie arytmetyczną. Właśnie dlatego jest właściwym narzędziem: uwzględnia szkody, jakie zmienność wyrządza procentowi składanemu.

Głębszy powód, dla którego to ma znaczenie, ma swoją nazwę: ergodyczność. System jest ergodyczny, gdy średni wynik wielu równoległych graczy równa się wynikowi jednego gracza przez wiele rund. Inwestowanie nie jest ergodyczne — nie żyjesz 10 000 równoległych żyć. Żyjesz jedno, sekwencyjnie, a pojedynczy rok katastrofy trwale redukuje Twoją bazę. Dlatego ścieżka czasowa zwrotów (geometryczna) ma większe znaczenie niż średnia statystyczna (arytmetyczna).

I tu następuje zwrot akcji. Wariancja jest wrogiem procentu składanego — ale można ją zbierać. Jeśli trzymasz dwa zmienne, nieskorelowane aktywa i okresowo rebalansujesz portfel do stałej alokacji, geometryczna stopa wzrostu portfela może przekroczyć stopę każdego z aktywów osobno. Nazywa się to czasem Demonem Shannona, od eksperymentu myślowego Claude’a Shannona. Rebalansowanie mechanicznie zmusza Cię do sprzedawania drogo i kupowania tanio. Im większe wahania i im niższa korelacja, tym większy bonus. Prawidłowo przeprowadzona dywersyfikacja nie tylko chroni — generuje zwroty, których żaden składnik nie mógłby osiągnąć sam.

IV

Co dywersyfikacja może, a czego nie

Nie każde ryzyko jest takie samo. Finanse rozróżniają dwa rodzaje. Ryzyko niesystematyczne dotyczy konkretnej spółki lub pozycji — nieudany raport kwartalny, wycofanie produktu, skandal z prezesem. Ryzyko systematyczne obejmuje cały rynek — recesje, zmiany stóp procentowych, szoki geopolityczne. Dywersyfikacja może wyeliminować pierwszy rodzaj niemal całkowicie. Z drugim nie jest w stanie nic zrobić.

To jest sufit, którego większość inwestorów nie zauważa. Dodawanie pozycji zmniejsza wariancję portfela — ale tylko do pewnego punktu. Krzywa szybko się spłaszcza. Przejście z jednej akcji do pięciu eliminuje dużą część ryzyka specyficznego dla spółki. Przejście z dwudziestu do pięćdziesięciu ledwo przesuwa igłę. Powyżej pewnego progu po prostu kupujesz rynek — i płacisz za to dodatkowe prowizje.

Kształt tej krzywej ma praktyczne konsekwencje. Jeśli trzymasz mniej niż pięć pozycji, dodanie jednej robi dużo. Jeśli trzymasz trzydzieści, dodanie pięciu kolejnych nie zmienia prawie nic. Marginalny zysk z dywersyfikacji jest skoncentrowany na początku i szybko zanika.

Równie ważne jest to, w czym się dywersyfikujesz. Trzymanie dziesięciu spółek technologicznych to nie jest prawdziwa dywersyfikacja — dzielą to samo ryzyko sektorowe, reagują na to samo otoczenie stóp procentowych i spadają razem. Prawdziwa dywersyfikacja oznacza rozproszenie po nieskorelowanych wymiarach: klasach aktywów (akcje, obligacje, surowce, nieruchomości), geografiach, typach strategii (momentum vs. wartość vs. carry) i czasie (uśrednianie cen zakupu). Pięć naprawdę nieskorelowanych pozycji może zmniejszyć wariancję bardziej niż pięćdziesiąt skorelowanych.

Dywersyfikacja to nie kwestia liczby pozycji. To kwestia liczby niezależnych ryzyk.

Jest też punkt, w którym dywersyfikacja zaczyna szkodzić. Peter Lynch nazwał to dyworsyfikacją — dodawaniem pozycji poza granicę Twojej zdolności do ich zrozumienia i monitorowania. Każda nowa pozycja dodaje koszty monitoringu, złożoność podatkową i tarcie przy rebalansowaniu. Jeśli nie potrafisz wyartykułować tezy inwestycyjnej dla każdej pozycji, nie dywersyfikujesz — rozmywasz przekonanie, dodając jednocześnie narzut. Optymalny portfel leży pomiędzy skrajnościami: wystarczająco dużo pozycji, by wyeliminować większość ryzyka niesystematycznego, i wystarczająco mało, by utrzymać przewagę na każdej.

Wreszcie, najgłębszy argument za dywersyfikacją nie dotyczy wariancji — dotyczy ryzyka ogona. Rzeczywiste rynki mają grube ogony. Zdarzenia, które rozkład normalny przewiduje raz na dziesięć tysięcy lat, zdarzają się co dekadę. Skoncentrowany portfel może przetrwać normalną wariancję. Często nie przetrwa zdarzenia sześć sigma w pojedynczej pozycji. Najważniejsze zadanie dywersyfikacji to nie wygładzanie średnich zwrotów — to zapewnienie, że żaden pojedynczy katastrofalny wynik nie usunie Cię z gry na stałe.

V

Kiedy dywersyfikacja ma sens?

Dywersyfikacja nie jest ani cnotą, ani wadą. Jest racjonalną odpowiedzią na konkretny zestaw warunków. Decyzja zależy od dwóch zmiennych: jak pewny jesteś swojej przewagi i ile jesteś w stanie stracić bez wyeliminowania z gry.

Niebezpieczny scenariusz, w który wpada większość inwestorów: wierzą, że mają dużą przewagę (kwadrant 1), podczas gdy mają niską przewagę (kwadrant 3). Nadmierna pewność siebie powoduje koncentrację na pozycjach, które w rzeczywistości nie są tak mocne, jak zakładano. Dywersyfikacja w tym przypadku nie rozmywa przewagi — chroni Cię przed własnym błędem kalibracji.

Jest jeszcze jedna zmienna, która ma znaczenie: korelacja. Dywersyfikacja zmniejsza wariancję tylko wtedy, gdy Twoje pozycje nie poruszają się w tandemie. Posiadanie dziesięciu spółek technologicznych nie jest prawdziwą dywersyfikacją — wszystkie reagują na te same siły. Posiadanie pięciu nieskorelowanych pozycji może zmniejszyć wariancję portfela bardziej niż pięćdziesiąt skorelowanych. O wartości dywersyfikacji decyduje jakość, nie ilość.